Thermodynamic Proof Mayer’s Relation
Thermodynamic Proof Mayer’s Relation:-Thermodynamics Relationships: Thermodynamic variables: extensive and intensive, Maxwell’s general relationships, application to Joule-Thomson cooling and adiabatic cooling in a general system,vander Waal’s gas, Clausius-Clapeyron heat equation. Thermodynamic potentials and equilibrium of thermodynamical systems, relation with thermodynamical variables. Cooling due to adiabatic demagnetization. Production and measurement of very low temperatures.
प्रश्न 13. ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम प्रयुक्त करके, आदर्श गैसों के लिए मेयर का सम्बन्ध Cp –Cv = R सिद्ध कीजिए।
Prove the Mayer’s relation for ideal gases Cp— Cv = R, with the help of first law of thermodynamics.
अथवा
एक गैस की विशिष्ट ऊष्माओं को परिभाषित कीजिए तथा सिद्ध कीजिए कि Cp – Cv = R, जहाँ सभी प्रतीक अपने सामान्य अर्थों में हैं। यदि गैस में n-मोल्स हों, तो Cp — Cv का नया मान क्या होगा?
Define specific heats of a gas and show that Cp – Cv = R, where the symbols have their usual meaning. If number of moles are n, what will be new value of Cp — Cv?
उत्तर : मेयर के सम्बन्ध का ऊष्मागतिक प्रमाण (Thermodynamic Proof of Mayer’s Relation)-माना 1 ग्राम-अणु आदर्श गैस का परम ताप T तथा दाब p पर आयतन V है। माना कि गैस की स्थिर आयतन पर आण्विक विशिष्ट ऊष्मा Cv है तथा स्थिर दाब पर Cp है।
माना गैस को स्थिर आयतन पर ताप T से T+ dT तक गर्म किया जाता है, तब आवश्यक ऊष्मा dQ का मान CvdT के बराबर होगा। चूँकि आयतन स्थिर रहता है, अत: कोई बाह्य कार्य नहीं होगा (dw = 0)
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,
dQ= dU + DW
जहाँ तीनों राशियाँ एक ही मात्रक में रखी गई हैं। यहाँ dQ = CvdT तथा dw = 0
CvdT = dU
अब माना उसी गैस का ताप T से T+dT तक स्थिर दाब पर बढ़ाया जाता है, तब आवश्यक ऊष्मा dQ का मान CpdT होगा। इस बार ऊष्मा आन्तरिक ऊर्जा में वृद्धि के साथ-साथ दाब p के विरुद्ध बाह्य कार्य भी करती है। यदि गैस के आयतन में परिवर्तन dv हो, तो किया गया बाह्य कार्य dW = pdV होगा। पुन: समीकरण (1) से,
Cpdt = dU + pdV
दोनों दशाओं में ताप-परिवर्तन एक ही है। चूंकि आदर्श गैस की आन्तरिक ऊर्जा केवल ताप पर निर्भर है, अत: दोनों दशाओं में आन्तरिक ऊर्जा में वृद्धि dU एक ही होगी। समीकरण (2) व (3) से dU को विलोपित करने पर
(Cp –Cv)dT = pdV
1 ग्राम-अणु गैस के लिए अवस्था-समीकरण है—
PV = RT
जहाँ R सार्वत्रिक गैस नियतांक है। इस समीकरण का स्थिर दाब पर अवकलन करने पर,
pdV = RdT
pdV का मान समीकरण (4) में रखने पर,
(Cp — Cv)dT = RdT
अथवा
Cp – Cv = R
सर्वप्रथम यह समीकरण सन् 1842 ई० में मेयर (Mayer) ने प्राप्त की थी। अत: इसको मेयर की समीकरण भी कहते हैं। इस समीकरण से स्पष्ट है कि आदर्श गैस की स्थिर दाब पर आण्विक विशिष्ट ऊष्मा का स्थिर आयतन पर विशिष्ट ऊष्मा से अन्तर R है। R को भी Cp व Cv के मात्रकों में व्यक्त किया जाना चाहिए। अधिकतर Cp व Cv को कैलोरी/(मोल-K) ‘ में व्यक्त करते हैं, अत: R को भी कैलोरी/(मोल-K) में रखना चाहिए।
चूँकि R = 8. 31 जूल/(मोल-K) तथा 4. 18 जूल = 1 कैलोरी,
