Different Amplifiers various Constant Phase

Different Amplifiers various Constant Phase:-Simple harmonic motion, differential equation of S.H.M. and its solution, uses of complex notation, damped and forced vibrations composition of simple harmonic motion.

The differential equation of wave motion, plane progressive waves in fluid media, a reflection of waves, phase change on reflection, superposition. stationary waves, pressure and energy distribution, phase, and group velocity.

 

प्रश्न 32. ‘लिस्साजु चित्र‘ से आप क्या समझते हैं? समान आवर्ती परन्तु अलग–अलग आयाम की दो लम्बवत् सरल आवर्त गतियों के अध्यारोपण द्वारा विभिन्न नियत कलान्तर के लिए लिस्साजु चित्रों का वर्णन कीजिए। 

What do you mean by ‘Lissajous figure”? Describe Lissajou’s figure for superposition of two perpendicular simple harmonic motion of the same frequencies but of different amplifiers at various constant phase difference. 

उत्तर : लिस्साज चित्र— यदि दो परस्पर लम्बवत् सरल आवर्त गतियाँ किसी कण पर एक साथ अध्यारोपित होती हैं तो कण का परिणामी पथ लिस्साजू चित्र कहलाता है। चित्र का. रूप दोनों गतियों की आवत्तियों के अनुपात, उनके आयामों के अनुपात तथा उनके कलान्तर पर निर्भर करता है। उदाहरणार्थ-यदि गतियों की आवृत्तियाँ समान हों तो आयामों तथा कलान्तर अनुसार लिस्साज चित्र एक सरल रेखा, दीर्घवृत्त अथवा कोई वृत्त हो सकता है। आवृत्तियों के  बदलने पर चित्रों के अन्य रूप भी हो सकते हैं।

माना किसी कण पर X तथा Y-अक्षों के अनुदिश एक ही आवृत्ति की दो साल गतियाँ एक साथ कार्यरत हैं, जिनके समीकरण निम्नवत् हैं

प्रश्न 33. मुक्त एवं प्रणोदित दोलनों में अन्तर स्पष्ट कीजिए तथा प्रणोदित अथवा चालित आवर्त दोलक की अवकल समीकरण लिखकर उसे हल कीजिए। अनुनाद की शर्त बताइए तथा अनुनाद की तीक्ष्णता की विवेचना कीजिए। 

Differentiate between free and forced oscillations and write down the differential equation of forced oscillations and solve it Explain the condition of resonance and discuss the sharpness of the resonance. 

उत्तर : लघु उत्तरीय प्रश्न 53 का उत्तर देखें। 

प्रणोदित दोलक का अवकल समीकरण— माना कोई वस्तु बाह्य आवर्त बल के अन्तर्गत, अपनी मध्यमान स्थिति के प्रति दोलन कर रही है। माना किसी समय t पर वस्तु का अपनी मध्यमान स्थिति से विस्थापन x तथा वेग dx? /dt है, तब वस्तु पर इस समय लगने वाले बल—

 

 

यह प्रणोदित आवृत्ति दोलक का अवकल समीकरण है। 

क्षणिक प्रभाव के समाप्त होते ही स्थायी अवस्था (steady state) प्राप्त हो जाती है तथा निकाय आरोपित बल की आवृत्ति से दोलन करने लगता है। स्थायी अवस्था में समीकरण (1) का निम्नलिखित हल सम्भव होगा

 

जहाँ 0 समीकरण (6) द्वारा व्यक्त होता है। यह प्रणोदित आवर्त दोलित्र की अवकल समीकरण का हल है। इससे यह स्पष्ट होता है कि दोलित्र एक नियत आयाम A तथा आरोपित बल की आवृत्ति p से दोलन करता है, परन्तु कला में बल से 0 पीछे रहता है।

आयाम का अनुनाद— समीकरण (5) के अनुसार, प्रणोदित दोलनों का आयाम, (w² – p²) पर अर्थात् प्रणोदित आवृत्ति p तथा दोलित्र की स्वाभाविक आवृत्ति के के अन्तर पर निर्भर करता है। यह अन्तर जितना कम होगा, आयाम उतना ही अधिक होगा।

प्रणोदित आवृत्ति के उन मानों पर जो कि दोलित्र की स्वाभाविक आवृत्ति के लगभग बराबर हैं, किसी विशेष आवृत्ति के लिए दोलनों का आयाम अधिकतम होता है। आयाम के अधिकतम हो जाने पर घटना को आयाम का अनुनाद कहते हैं। उस विशेष प्रणोदित आवृत्ति को जिस पर अनुनाद होता है, अनुनादी आवृत्ति कहते हैं।

अनुनाद की तीक्ष्णता— उपर्युक्त विवरण से स्पष्ट है कि जब बाह्य आवर्त बल की आवृत्ति वस्तु की स्वाभाविक आवृत्ति के बराबर होती है तो वस्तु अधिकतम आयाम से दोलन करती है। जैसे ही बाह्य आवर्त बल की आवृत्ति इस मान से बदलती है, आयाम कम हो जाता है।

 

यदि बाह्य बल और वस्तु की आवृत्ति में थोड़ा-सा ही अन्तर होने पर आयाम बहुत कम हो जाता है तो इसे तीक्ष्ण अनुनाद और यदि आयाम थोड़ा-सा ही कम होता है तो इसे स्पष्ट अननाद कहते हैं। चित्र-38 से स्पष्ट है कि जैसे-जैसे घर्षण (7) का मान बढ़ता है, अनुनाद की तीक्ष्णता कम होती जाती है।

 

प्रश्न 34. एक तनी हुई समान डोरी में अनुप्रस्थ तरंग के वेग के लिए सम्बन्ध कीजिए। 

Obtain the relationship for the velocity of transverse wave in stretched string. 

उत्तर : तनी हुई डोरी में अनुप्रस्थ तरंगें माना OP एकसमान घनत्व व मोटाई वाली पूर्णत: लचीली डोरी है जिसकी लम्बाई L कम्पन करते हुए अपरिवर्तित रहती है तथा तनाव | द्वारा दो बिन्दुओं 0 और P के बीच तनी हुई है। साम्यावस्था में डोरी X-अक्ष के अनुदिश है।

यदि डोरी को Y-अक्ष के अनुदिश थोड़ा-सा खींचकर छोड़ दिया जाए तो डोरी लम्बाई के लम्बवत् दिशा में कम्पन करने लगती है। डोरी के एक अल्पांश AB जिसकी लम्बाई x है (चित्र-39), पर Y-अक्ष के अनुदिश परिणामी बल की गणना करेंगे। AB अल्पांश की विस्थापित स्थिति AB’ है। डोरी पूर्णत: लचीली होने के कारण तनाव, AB’ के प्रत्येक बिन्दु पर समान तथा डोरी पर स्पर्श रेखीय होगा। A.B’ के सिरों पर स्पर्श रेखाओं के X-अक्ष से झुकाव क्रमश: 0₁ व 0₂ हैं।

 

 

 

 

 

प्रश्न 35. सिद्ध कीजिए कि अवमंदक बलों की उपस्थिति में दोलित्र की आवृत्ति 12.5/ Q² प्रतिशत घट जाती है, जहाँ Q गुणता कारक है। 

Prove that when damping forces are present, the frequency of an oscillator is reduced by 12.5/Q² Percent, where is the quality factor. 

उत्तर : यदि किसी दोलक की सामान्य कोणीय आवृत्ति हो, तब इसकी अवमंदित आवृत्ति

प्रश्न 36. एक कण किसी तल में दो सरल आवर्त गतियाँ कर रहा है जो निम्नलिखित हैं 

यह वृत्त की समीकरण है। इस प्रकार यदि दोनों सरल आवर्त गतियों के आयाम बराबर हों तथा दोनों के बीच कलान्तर pie/2 का विषम गुणक हो, तब कण वृत्तीय पथ पर चलेगा।

 

(ii) ध्वनि तरंगें पानी के भीतर चार गुना तेज गति करती हैं, परन्तु पानी का घनत्व वाय क घनत्व से कई गना अधिक होने के कारण ध्वनि तरंगें पानी की भीतरी सतह से टकराकर लाट जाती है तथा पानी की सतह को भेदकर बाहर नहीं आ पाती हैं। इसी कारण हमें समुद्री जानवरों का शोर सुनायीं नहीं पड़ता।

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