Obtain Expressions Orbital Velocity Revolution Period

Obtain Expressions Orbital Velocity Revolution Period:-Central forces, two particle central force problem, reduced mass, relative and centre of mass motion. Law of gravitation, Kepler’s laws. motions of planets and satellites, geo-stationary satellites.Simple harmonic motion, differential equation of S.H.M. and its solution, uses of complex notation, damped and forced vibrations composition of simple harmonic motion.

प्रश्न 25. एक उपग्रह पृथ्वी-तल से ऊँचाई पर पृथ्वी के चारों ओर वृत्तीय कक्षा में परिक्रमण कर रहा है। कक्षीय वेग तथा परिक्रमणकाल के लिए व्यंजक प्राप्त कीजिए। 

A satellite revolves in a circular orbit around the earth at a height h from the earth’s surface. Obtain expressions for the orbital velocity and revolution period. 

उत्तर : उपग्रह का ग्रह के परितः परिक्रमण- कोई भी प्राकृतिक अथवा कृत्रिम उपग्रह किसी ग्रह के चारों ओर ग्रह द्वारा उपग्रह पर आरोपित गुरुत्वाकर्षण के अन्तर्गत परिक्रमण करता है।

कक्षीय वेग— माना द्रव्यमान m का एक उपग्रह, पृथ्वी के चारों ओर r त्रिज्या की वृत्तीय कक्षा में परिक्रमण कर रहा है तथा उपग्रह का कक्षीय वेग v₀ है (चित्र-33)। पृथ्वी द्वारा उपग्रह पर आरोपित गुरुत्वाकर्षण बल GM m/r² है, जहाँ M पृथ्वी का द्रव्यमान है तथा G गुरुत्वाकर्षण नियतांक है। उपग्रह को वृत्तीय कक्षा में घूमने के लिए आवश्यक अभिकेन्द्र बल mv₀²/r है जो गुरुत्वाकर्षण बल से ही प्राप्त होता है। इस प्रकार,

समीकरण (1) व (2) कक्षीय वेग के व्यंजक हैं। इनसे स्पष्ट है कि उपग्रह की पृथ्वी की से ऊँचाई , जितनी अधिक होगी. उपग्रह का कक्षीय वेग उतना ही कम होगा। चूकि उपग्रह का वग उपग्रह के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता, अत: यदि भिन्न-भिन्न द्रव्यमानों के दो पृथ्वी के चारों ओर एक ही कक्षा में हों तो वे एक ही कक्षीय वेग से परिक्रमण करेंगे।

परिक्रमण काल— माना उपग्रह के एक परिक्रमण का समय T है अर्थात् यह T समय में 2pie r दूरी तय करता है, तब

यह परिक्रमणकाल के लिए व्यंजक है।

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